En qué consiste el problema de las colegialas de Kirkman que por 172 años ha seducido a los matemáticos

Imagina que el aumento de sueldo que llevas años esperando depende de que hagas una sola cosa.

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Tu jefa está organizando un congreso y ha confirmado a siete grandes expertos para que debatan entre sí en mesas redondas y te pide que cada una tenga únicamente tres panelistas.

Hasta ahora todo bien ¿no? ¿Ya estás visualizando tu cuenta bancaria?

Pero hay un detalle que descubres cuando hablas con cada panelista: además de ser los mejores en sus campos, no se llevan nada bien entre sí y cada uno, a su manera, te pone una condición:

“Puedo participar en las mesas que necesiten, pero solo quiero coincidir con cada uno de los otros seis invitados una sola vez, ni una más, pero ni una menos”.

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¡No te estreses!

Lo que te está pidiendo tu jefa es muy parecido a lo que se planteó el matemático británico Thomas Kirkman en 1850 y que se conoce como el problema de las colegialas.

Aquí, con la guía de Raúl Ibáñez, profesor de matemáticas en la Universidad del País Vasco, te contamos de qué se trata.

“El problema de las estudiantes lleva fascinando mucho tiempo. Parece un rompecabezas, un acertijo, pero detrás tiene aspectos muy profundos”, indica el divulgador científico y autor de varios artículos y libros sobre matemáticas.

De hecho, en uno de ellos, le dedicó un capítulo entero a este problema.

“Pareciera fácil, pero es muy complicado en sí mismo y la resolución no siempre es sencilla”.

Teoría de grupos

Kirkman nació en Manchester, Inglaterra, en 1806.

Aunque su maestro en la escuela vio su potencial para ser aceptado en la Universidad de Cambridge, su padre tenía otros planes.

“Thomas se vio obligado a dejar la escuela a la edad de 14 años” y se fue a trabajar en la oficina de su papá”, cuentan en una breve biografía los profesores John Joshep O’Connor y Edmund Frederick Robertson, de la Universidad St. Andrews, en Reino Unido.

“Después de nueve años trabajando en la oficina, Thomas fue en contra de los deseos de su padre e ingresó al Trinity College de Dublín para estudiar matemáticas, filosofía, clásicos y ciencias para una licenciatura”.

En 1835, Kirkman regresó a Inglaterra y cuatro años después, se hizo vicario de una parroquia de la Iglesia de Inglaterra, posición que desempeñó por 52 años. Se casó y tuvo tres hijos.

Como indicó Robin Wilson, profesor emérito de matemáticas puras de la Open University, de Reino Unido, en el artículo The Early History of Block Designs (La historia temprana de los diseños de bloques), los deberes parroquiales de Kirkman “ocupaban poco de su tiempo”.

Así que el reverendo “concentraba mucho esfuerzo en sus investigaciones matemáticas, especialmente en temas algebraicos y combinatorios”.

Sistemas de triples

En 1846, presentó su primer artículo, que tituló: On a problem in combinations (Sobre un problema de combinaciones) y que salió publicado en 1847 en la revista Cambridge and Dublin Mathematical Journal.

Se le considera un texto pionero porque resolvió el problema de los “triples de Steiner”, varios años antes de que el mismo Jakob Steiner, considerado uno de los geómetras más destacados del siglo XIX, lo propusiera.

“Aunque estos triples deberían haberse llamado, quizás, de Kirkman, ya que él los publicó primero”, dice Ibañez.

A lo largo de su carrera, el matemático ahondó sobre la teoría de grupos e hizo importantes contribuciones a la combinatoria.

Matemáticas recreativas

Kirkman publicó el problema de las colegialas en The Lady’s and Gentleman’s Diary, revista dedicada a cuestiones matemáticas, acertijos y poesía.

Se trató de un juego de ingenio, una recreación matemática, que propuso así:

“Quince jóvenes estudiantes salen de paseo todos los días de la semana, de lunes a domingo, de forma ordenada, formando cinco filas de tres estudiantes cada una, ¿cómo organizarlas todos los días de la semana para que ningún par de alumnas compartan fila más de un día?”

El planteamiento llamó la atención de varios reconocidos matemáticos, entre ellos el británico Arthur Cayley, quien publicó rápidamente una solución.

Kirkman también presentaría una y, a partir de entonces, vendrían más resoluciones.

El problema de las colegialas se le ocurrió precisamente cuando escribía su artículo sobre los sistemas triples.

“Tenemos n elementos, 1, 2, 3 hasta n, y la idea era crear colecciones de tres números de este conjunto, que se llaman bloques, de forma que cada par de elementos aparezca exactamente en un trío”, explica Ibáñez.

Lo que Kirkman con su problema nos está pidiendo es que para 15 personas o elementos, desarrollemos un sistema de triples, separados en siete grupos (uno para cada día de la semana), de manera que en cada uno de ellos estén todas las estudiantes, o elementos.

Los cuadrados de ‘room’

Cayley es considerado uno de los fundadores de la escuela británica de matemáticas puras, que surgió en el siglo XIX.

En 1850, decidió prestarle atención a las 15 colegialas y llegó a una solución a través de lo que se conoce como los cuadrados de room.

En un cuadrado de room, explica el docente, tenemos n+1 símbolos.

Imagina 8 números, desde el 1 hasta el 8.

Como escogimos 8 símbolos, hacemos una tabla 7 x 7: siete filas y siete columnas.

Pero, tienes que cumplir con tres condiciones para hacerlo:

• Cada casilla o está vacía o tiene una pareja de números. Por ejemplo, una casilla puede tener el 35, otra puede tener el 86, otra el 13 o no tener nada.
• Cada símbolo aparece una sola vez en cada fila y en cada columna. Por ejemplo, si vemos una fila, el 1 aparecerá en alguna de las casillas, el 2 en otra, y así hasta 8, y en las columnas lo mismo, pero aparecerán formando una pareja de número.
• Cada pareja no ordenada de símbolos aparece en una sola entrada. Por ejemplo, la pareja 12 aparece una sola vez en toda la tabla, la 13 una vez, así hasta el final, hasta la pareja 78.

Un ejemplo sería:

Lo que hizo Cayley fue utilizar este tipo de cuadrado de room y combinarlo con los sistemas de triples, que ya estaba estudiando Kirkman, para llegar a una solución al problema de las colegialas.

Cayley distribuyó las 15 alumnas de la siguiente manera: a las 7 primeras las denominó con letras, de la “a” a la “g”, y las otras 8 con números, del 1 al 8.

Los números son para hacer un cuadrado de room, como el de arriba, y las letras las utilizó para hacer sistemas triples de orden siete, como este:

Esos triples los ponemos a la izquierda del cuadrado de room y quedaría así:

¡Una solución!

A partir de esa estructura, sale una solución.

Traduzcamos ese cuadro a las 15 colegialas y los siete días que salen de paseo.

Pero primero, pongámosle nombres a las letras y a los números de la tabla Cayley:

• a=Ana
• b=Bea
• c=Carol
• d=Diana
• e=Emma
• f=Fanny
• g=Gina
• 1=María
• 2=Katy
• 3=Yeny
• 4=Lola
• 5=Sofía
• 6=Gabi
• 7=Pili
• 8=Yoli

La solución viene por el cuadrado de letras y números de más arriba.

Cada fila, en el mismo, nos da los grupos de tres estudiantes de cada uno de los siete días de la semana.

Así el lunes es abc, d35, e17, f82, g64. La solución, con nuestras estudiantes, sería entonces:

El arte de la combinatoria

Tanto el reverendo Kirkman como Cayley “sabían que había algo profundo detrás de ese problema, por eso se dedicaron a él”, dice Ibáñez.

“La combinatoria es el arte de seleccionar, u ordenar, los elementos de un cierto conjunto” y eso es precisamente lo que Cayley nos muestra con su solución: el problema de las colegialas es uno de organización.

“Las estudiantes y cómo se agrupan para asistir al colegio cada día son una metáfora de una estructura matemática, de hecho, combinatoria, que puede ser utilizada en muchos otros aspectos de nuestra vida”.

“Este es el motivo por el cual las matemáticas son abstractas, para que sean herramientas que puedan ser utilizadas en contextos muy diferentes, como física, biología, química o medicina”.

De acuerdo con el experto, las matemáticas que intervienen en el problema de las colegialas son parte de toda una rama que es fundamental en teoría de códigos y criptografía, planificación, geometría, diseño de experimentos estadísticos, teoría de la computación, redes de la comunicación.

“Todo esto que surge del intento de resolver un problema de ingenio, acabó convirtiéndose en dos teorías matemáticas: los sistemas triples de Steiner y la teoría de diseños de bloques, ambas con muchas aplicaciones prácticas”.

Y es que las matemáticas “no se contentan” con solucionar un problema.

“En ocasiones, como en este caso, también miran a ver de cuántas formas distintas se puede resolver. Y para el problema de las estudiantes de Kirkman se demostró, a principios del siglo XX, que había 80 soluciones distintas”.

El problema que da para más

Las colegialas también dieron pie a que surgieran nuevos problemas.

“Otra práctica habitual en la ciencia de Pitágoras es plantear el problema de forma más general. Así se propuso el problema de las estudiantes para grupos con otras cantidades de estudiantes.

La resolución para todos los casos no llegó hasta 1968 cuando Ray-Chaudhuri y R. M. Wilson publicaron la “solución completa al caso general”.

Aún así, el problema sigue muy abierto porque los sistemas triples de Steiner o, en forma más general, el diseño de bloques son una rama de las matemáticas “muy activa”.

“Un problema de ingenio como este que era, a priori, una cuestión pequeña, se ha convertido en una teoría con cientos de problemas abiertos, investigaciones, artículos, libros”.

Al intentar resolverlo, muchos matemáticos han utilizado y desarrollado técnicas diferentes.

Por ejemplo, el matemático estadounidense Martin Gardner publicó en Scientific American una solución geométrica al problema de las estudiantes: un círculo que -con números y triángulos sobre él- ofrece una respuesta distinta con solo rotarlo.

Volviendo al problema que te podría dar el anhelado aumento de sueldo, la respuesta es que a cada uno de tus invitados le asignes un número y crees un sistema de triples, lo cual te llevará, por ejemplo, a siete mesas:

Y si le quieres agradecer a alguien por tu merecido aumento, sin duda la persona es Kirkman y, claro, el profesor Ibáñez.